НаверхТайна числа π: почему оно никогда не заканчивается?
Разбираем математическое доказательство иррациональности самой известной константы в мире.
Иррациональные числа продолжаются бесконечно. Как мы знаем, что у пи нет конца?
Изначально определяемое как отношение длины окружности к ее диаметру, число пи, обозначаемое греческой буквой π, встречается повсеместно в математике, в том числе в областях, совершенно не связанных с окружностями, таких как химия, физические науки и медицина.
Пи принадлежит к огромной математической группе, называемой иррациональными числами, которые продолжаются бесконечно и не могут быть записаны в виде дроби. Ученые вычислили пи до 105 триллионов знаков после запятой, хотя большинству из нас более знакомо приближенное значение 3,14. Но как мы знаем, что пи — иррациональное число?
Рациональные числа, которые составляют большинство чисел, которые мы используем в повседневной жизни (хотя и менее половины всех возможных чисел), могут быть записаны в виде дроби одного целого числа, деленного на другое. Пи, с его сложной последовательностью десятичных знаков, на первый взгляд, определенно не кажется частью этой группы.
«Рациональность — это практическое свойство иметь доступ к числу в явном виде, то есть без какого-либо приближения… так что быть в состоянии записать число в конечном количестве символов», — сказал Вадим Зудилин, математик из Университета Радбауд в Нидерландах.
Однако на самом деле доказать, что вы не можете записать пи в виде дроби, — это на удивление сложная задача. У математиков нет универсального метода, чтобы показать, что конкретное число является иррациональным, поэтому им приходится разрабатывать отдельное доказательство для каждого случая, — объяснил Кит Конрад, математик из Университета Коннектикута. «Как вы узнаете, что число не является дробью?» — сказал он. — «Вы пытаетесь проверить отрицательное свойство».
Несмотря на эту трудность, за последние 300 лет математики представили различные доказательства иррациональности пи, используя методы из разных областей математики. Каждый из этих аргументов начинается с предположения, что пи рационально, записанного в виде уравнения. Через ряд манипуляций и выводов о свойствах неизвестных значений в этом уравнении впоследствии становится ясно, что математика противоречит этому первоначальному утверждению, что приводит к выводу, что пи должно быть иррациональным.
Конкретная математика, задействованная в этом, часто невероятно сложна и обычно требует университетского уровня понимания исчисления, тригонометрии и бесконечных рядов. Однако каждый подход основан на этой центральной идее доказательства от противного.
«Есть доказательства с использованием исчисления и тригонометрических функций», — сказал Конрад. — «В некоторых из них π выделяется как первое положительное решение уравнения sin(x) = 0. Первое доказательство Ламберта в 1760-х годах использовало часть математики, называемую бесконечными непрерывными дробями — это своего рода бесконечно вложенная дробь».
Однако, вместо того чтобы доказывать иррациональность пи напрямую, также возможно подтвердить иррациональность, используя другое свойство числа. Пи принадлежит к другой числовой группе, называемой трансцендентными числами, которые не являются алгебраическими и, что важно, не могут быть записаны как корень полиномиального уравнения. Поскольку каждое трансцендентное число иррационально, любое доказательство, показывающее, что пи трансцендентно, также доказывает, что пи иррационально.
«Используя исчисление с комплексными числами, можно доказать, что π трансцендентно», — сказал Конрад. — «Доказательство использует очень известное уравнение, называемое тождеством Эйлера: e^(iπ) + 1 = 0».
Хотя универсальное значение пи может проистекать из этой неосязаемой иррациональности, семи или восьми десятичных знаков обычно более чем достаточно для любых реальных приложений. Даже НАСА использует только 16 знаков пи для своих расчетов.
«Мы аппроксимируем значение для практических целей, 3,1415926 — это уже много информации!» — сказал Зудилин. — «Но, конечно, в математике это неудовлетворительно. Мы заботимся о природе чисел».
