НаверхКак мы узнаем, что пи — иррациональное число?
Существуют ли математические способы доказать, что у числа пи нет конца?
Изначально определяемое как отношение длины окружности к ее диаметру, число пи, обозначаемое греческой буквой π, встречается во всей математике, в том числе в областях, совершенно не связанных с кругами, таких как химия, физические науки и медицина.
Пи принадлежит к огромной математической группе, называемой иррациональными числами, которые продолжаются бесконечно и не могут быть записаны в виде дробей. Ученые вычислили пи до 105 триллионов знаков после запятой, хотя большинству из нас более знакомо приближенное значение 3,14. Но как мы узнаем, что пи — иррациональное число?
Рациональные числа, которые составляют большинство чисел, которые мы используем в повседневной жизни (хотя и менее половины всех возможных чисел), могут быть записаны в виде одного целого числа, деленного на другое. Пи, с его сложной последовательностью десятичных знаков, на первый взгляд, определенно не кажется частью этой группы.
«Рациональность — это практическое свойство иметь доступ к числу в явном виде, то есть без какого-либо приближения… то есть иметь возможность записать число в конечном количестве символов», — рассказал Live Science Вадим Зудилин, математик из Университета Радбауда в Нидерландах.
Однако доказать, что вы не можете записать пи в виде дроби, — на удивление сложная задача. У математиков нет универсального метода, чтобы показать, что конкретное число иррационально, поэтому им приходится разрабатывать отдельное доказательство для каждого случая, объяснил Кит Конрад, математик из Университета Коннектикута. «Как вы узнаете, что число не является дробью?» — сказал он. «Вы пытаетесь подтвердить отрицательное свойство».
Несмотря на эту трудность, за последние 300 лет математики установили различные доказательства иррациональности пи, используя методы из разных областей математики. Каждый из этих аргументов начинается с предположения, что пи рационально и записано в виде уравнения. Путем ряда манипуляций и выводов о свойствах неизвестных величин в этом уравнении впоследствии становится ясно, что математика противоречит этому первоначальному утверждению, что приводит к выводу, что пи должно быть иррациональным.
«Существуют доказательства с использованием исчисления и тригонометрических функций», — сказал Конрад. «В некоторых из них π выделяется как первое положительное решение уравнения sin(x) = 0. Первое доказательство Ламберта в 1760-х годах использовало часть математики, называемую бесконечными цепными дробями — это своего рода бесконечно вложенная дробь».
Однако, вместо того чтобы доказывать иррациональность пи напрямую, можно также подтвердить иррациональность, используя другое свойство числа. Пи принадлежит к другой числовой группе, называемой трансцендентными числами, которые не являются алгебраическими и, что важно, не могут быть записаны как корень полиномиального уравнения. Поскольку каждое трансцендентное число является иррациональным, любое доказательство того, что пи является трансцендентным, также доказывает, что пи иррационально.
«Используя исчисление с комплексными числами, вы можете доказать, что π трансцендентно», — сказал Конрад. «В доказательстве используется очень известное уравнение, называемое тождеством Эйлера: e^(iπ) + 1 = 0».
Хотя универсальная важность пи может вытекать из этой неосязаемой иррациональности, семи или восьми десятичных знаков обычно более чем достаточно для любых реальных приложений. Даже НАСА использует только 16 знаков пи для своих расчетов.
«Мы аппроксимируем значение для практических целей, 3,1415926 — это уже много информации!» — сказал Зудилин. «Но, конечно, в математике это неудовлетворительно. Нас волнует природа чисел».
