НаверхФизика и математика: ключ к разгадке тайн времени!
Как фундаментальная наука переписывает наши представления о реальности
Оригинальная версия этой истории была опубликована в Quanta Magazine.
На рубеже XIX и XX веков у известного математика Давида Гильберта была грандиозная цель: привнести в мир физики более строгий, математический подход. В то время физики всё ещё спорили о базовых определениях — что такое тепло? как устроены молекулы? — и Гильберт надеялся, что формальная логика математики сможет помочь.
Утром 8 августа 1900 года он представил на Международном конгрессе математиков список из 23 ключевых математических задач. Задача № 6: предоставить неопровержимые доказательства законов физики.
Шестая проблема Гильберта была масштабной. Он предложил «рассматривать таким же образом [как геометрию], с помощью аксиом, те физические науки, в которых математика играет важную роль».
Его попытка аксиоматизировать физику была «на самом деле программой», как сказал Дэйв Левермор, математик из Мэрилендского университета. «В том виде, в котором сформулирована шестая проблема, она никогда не будет решена».
Но Гильберт дал отправную точку. Чтобы изучить различные свойства газа — например, скорость его молекул или среднюю температуру, — физики используют разные уравнения. В частности, они используют один набор уравнений для описания движения отдельных молекул в газе, а другой — для описания поведения газа в целом. Гильберт задался вопросом, можно ли показать, что один набор уравнений вытекает из другого — что эти уравнения, как предполагали физики, но не доказывали строго, являются просто разными способами моделирования одной и той же реальности?
В течение 125 лет даже аксиоматизация этого небольшого раздела физики казалась невозможной. Математики добились частичного прогресса, предложив доказательства, которые работали только в том случае, если рассматривалось поведение газов в течение чрезвычайно коротких промежутков времени или в других искусственных ситуациях. Но эти доказательства не давали того результата, который представлял себе Гильберт.
Теперь трое математиков наконец-то получили такой результат. Их работа не только представляет собой значительный шаг вперёд в реализации программы Гильберта, но и затрагивает вопросы о необратимости времени.
«Это прекрасная работа, — сказал Грегори Фалькович, физик из Научного института Вейцмана. — Настоящий шедевр».
Под Мезоскопом
Рассмотрим газ, частицы которого сильно рассредоточены. Физики могут моделировать его поведение разными способами.
На микроскопическом уровне газ состоит из отдельных молекул, которые ведут себя как бильярдные шары и движутся в пространстве в соответствии с законами движения, сформулированными Исааком Ньютоном 350 лет назад. Эта модель поведения газа называется системой частиц с твёрдыми сферами.
Теперь немного уменьшим масштаб. На этом новом «мезоскопическом» уровне в поле вашего зрения находится слишком много молекул, чтобы отслеживать их по отдельности. Вместо этого вы будете моделировать газ с помощью уравнения, которое физики Джеймс Клерк Максвелл и Людвиг Больцман разработали в конце XIX века. Это уравнение, называемое уравнением Больцмана, описывает вероятное поведение молекул газа и показывает, сколько частиц можно ожидать обнаружить в разных местах, движущихся с разной скоростью. Эта модель газа позволяет физикам изучать движение воздуха в малых масштабах — например, как он может обтекать космический челнок.
Если снова уменьшить масштаб, то уже нельзя будет сказать, что газ состоит из отдельных частиц. Он ведёт себя как единое непрерывное вещество. Чтобы смоделировать это макроскопическое поведение — плотность газа и скорость его движения в любой точке пространства — вам понадобится ещё один набор уравнений, называемых уравнениями Навье — Стокса.
Физики считают, что эти три разные модели поведения газа совместимы. Это просто разные способы взглянуть на одно и то же явление. Но математики, надеявшиеся внести свой вклад в решение шестой проблемы Гильберта, хотели доказать это строго. Им нужно было показать, что модель отдельных частиц Ньютона приводит к статистическому описанию Больцмана, а уравнение Больцмана, в свою очередь, приводит к уравнениям Навье — Стокса.
Математики добились определённых успехов на втором этапе, доказав, что в различных условиях можно вывести макроскопическую модель газа из мезоскопической. Но они не смогли решить задачу на первом этапе, и логическая цепочка осталась незавершённой.
Теперь ситуация изменилась. В серии статей математики Юй Дэн, Захер Хани и Сяо Ма доказали более сложный переход от микроскопического к мезоскопическому для газа в одной из таких сред, завершив цепочку впервые. По словам Янь Го из Университета Брауна, этот результат и методы, которые сделали его возможным, «меняют парадигму».
Декларация независимости
Больцман уже тогда мог показать, что законы движения Ньютона приводят к его мезоскопическому уравнению, если выполняется одно важное условие: частицы в газе движутся более или менее независимо друг от друга. То есть вероятность того, что конкретная пара молекул столкнётся друг с другом несколько раз, должна быть очень низкой.
Но Больцман не смог убедительно доказать, что это предположение верно. «Конечно, он не мог доказать теоремы на этот счёт, — сказал Серджио Симонелла из Римского университета Ла Сапиенца. — В то время не было ни структуры, ни инструментов».
В конце концов, существует бесконечное множество способов, которыми частицы могут сталкиваться и повторно сталкиваться. «Вы просто получаете огромный взрыв возможных направлений, в которых они могут двигаться», — сказал Левермор. Поэтому доказать, что сценарии, включающие множество повторных столкновений, встречаются так редко, как того требовал Больцман, — «настоящий кошмар».
В 1975 году математику по имени Оскар Лэнфорд удалось доказать это, но только для очень коротких промежутков времени. (По словам Симонеллы, точное количество времени зависит от начального состояния газа, но оно меньше, чем мгновение ока.) Затем доказательство перестало работать: прежде чем большинство частиц успело столкнуться хотя бы раз, Лэнфорд уже не мог гарантировать, что повторные столкновения будут происходить редко.
В последующие десятилетия многие математики безуспешно пытались расширить его результат.
Затем, в ноябре 2023 года, Дэн, который сейчас работает в Чикагском университете, и Хани из Мичиганского университета опубликовали препринт, в котором было представлено желаемое доказательство. В готовящейся к публикации статье они использовали свой последний результат для исследования «долгосрочного расширения теоремы Лэнфорда».
Другие математики не знали, как реагировать на это заявление. «Я не думал, что это возможно», — сказал Пьер Жермен из Имперского колледжа Лондона. Дэн и Хани даже не работали с системами частиц; до этого момента они в основном изучали системы, состоящие из волн (например, световых лучей).
Поэтому математики с нетерпением ждали обещанного доказательства.
Когда Частицы Сталкиваются
В 2023 году Дэн и Хани провели анализ перехода от микроскопического масштаба к мезоскопическому в контексте волн. Примерно за год до того, как математики опубликовали свою статью в интернете, Дэн был на конференции, где познакомился с аспирантом Принстонского университета по имени Сяо Ма. В итоге они обсудили работу Дэна и Хани и то, как можно адаптировать их методы для частиц. Это позволило бы им расширить результаты Лэнфорда и показать, что повторные столкновения частиц происходят редко даже в более длительных временных масштабах.
Эту идею Дэн и Хани уже обдумывали. Дэн был впечатлён знаниями Ма в этой области и предложил ему помочь им превратить интуитивное понимание в доказательство.
Троица учёных надеялась сосредоточиться на хорошо изученном сценарии, в котором математики уже доказали второй, мезо-макроскопический, шаг в решении шестой проблемы Гильберта. В этом сценарии разреженный газ сферических частиц находится в замкнутом пространстве. Если частица ударяется об одну из стенок, она появляется на противоположной стенке.
Но чтобы доказать более сложный переход от микромира к мезомиру в этой системе — и тем самым решить шестую проблему Гильберта, — Дэн, Хани и Ма должны были перенести свои волновые методы на частицы. Поэтому они начали с системы, в которой эта задача была немного проще. Они работали с газом, частицы которого случайным образом распределены в бесконечном пространстве. В отличие от частиц в замкнутом пространстве, которые вечно отскакивают друг от друга, эти частицы в конечном счёте рассеиваются и перестают сталкиваться. «В случае со всем пространством есть более короткий путь», — сказал Дэн.
Сначала трём математикам нужно было составить таблицу различных вариантов столкновений, которые могли произойти в их газе, и определить вероятность каждого из этих вариантов. Они могли легко исключить сценарии с особенно высокой частотой повторных столкновений. Таким образом, им нужно было проанализировать конечное, хотя и большое, количество вариантов, каждый из которых предполагал столкновение определённого подмножества частиц в определённом порядке. Зная, что представляет собой каждый вариант, они могли использовать эту информацию для оценки вероятности его возникновения.
Но зачастую это казалось невыполнимой задачей, поскольку многие закономерности включали в себя огромное количество частиц и сложные, опосредованные взаимодействия между ними. «Структура этих наборов [столкнувшихся частиц] чрезвычайно сложна», — сказал Дэн. В принципе, математикам пришлось бы отслеживать каждую из этих частиц одновременно, чтобы вычислить необходимые им оценки вероятности.
Именно здесь предыдущая работа Дэнга и Хани, посвящённая волнам, дала им важную подсказку. В ходе исследования они нашли способ разбивать сложные паттерны взаимодействующих волн на более простые. Они тщательно разработали свою методику, чтобы, работая всего с несколькими волнами за раз, можно было получить хорошую оценку вероятности более сложного паттерна волн.
Они надеялись, что та же идея сработает и в случае с частицами.
Но после столкновения частицы ведут себя совсем не так, как волны. Например, частицы, в отличие от волн, отскакивают друг от друга, что сильно влияет на характер столкновений и вероятность их возникновения. Дэн, Хани и Ма с самого начала должны были пересмотреть детали своей стратегии.
Сначала они рассмотрели простейшие случаи, когда каждая частица сталкивается с другой всего несколько раз за очень короткий промежуток времени без повторных столкновений. Затем они постепенно перешли к более сложным случаям — с более длительными периодами времени, большим количеством столкновений и повторных столкновений.
Это было в равной степени и искусством, и наукой. «Интуиция развивалась постепенно, начиная с нескольких неудачных попыток», — сказал Дэн. Им нужно было понять, как разделить большие и сложные модели столкновений частиц на части, чтобы упростить расчёты и при этом сохранить высокую точность оценок.
«Этот процесс занимает месяцы, — сказал Хани. — Мы бы постоянно зависали». Почти каждый день они проводили совещания в Zoom, чтобы обсудить все детали. «К большому разочарованию моей жены, некоторые из них проходили очень поздно вечером или очень рано утром, — сказал Хани. — Я укладывал дочь спать, а потом мы проводили два-три часа за совещаниями в Zoom».
Наконец, к весне 2024 года троица учёных была уверена, что они всё учли. Их доказательство, которое они опубликовали в интернете тем летом, подтверждало, что повторные столкновения должны быть очень, очень редкими. Они показали, как и надеялись, что в условиях бесконечного пространства описание газа, данное Больцманом, можно вывести из описания Ньютона. Микроскопические и мезоскопические масштабы укладываются в единую строгую математическую систему.
«Я считаю, что это выдающаяся работа, — сказал Александру Ионеску, математик из Принстона, который также был научным руководителем Дэн и Ма. — Это одни из самых значительных достижений за многие годы».
Теперь они были готовы вернуться к модели «газ в коробке», где они наконец смогли бы решить шестую проблему Гильберта.
Завершенная Цепочка
Им не потребовалось много времени, чтобы распространить свой результат с бесконечного пространства на ограниченное. «Восемьдесят процентов доказательства остаются в силе и для всего пространства», — сказал Дэн.
В марте они опубликовали новую статью, в которой объединили своё доказательство с более ранними результатами, связывающими уравнение Больцмана с уравнениями Навье — Стокса. Логическая цепочка была завершена: они показали, что для реалистичной модели газа микроскопическое описание отдельных частиц действительно в конечном счёте приводит к макроскопическому описанию крупномасштабного поведения газа.
Эта работа не только ознаменовала решение одной из важнейших задач шестой проблемы Гильберта. Она также дала строгое математическое решение старого парадокса.
На микроскопическом уровне, где частицы ведут себя как бильярдные шары, время обратимо. Уравнения Ньютона предсказывают, откуда берётся частица и куда она движется. Будущее принципиально не отличается от прошлого.
Но на мезоскопическом и макроскопическом уровнях невозможно вернуться в прошлое. «Мы прекрасно знаем, что, двигаясь вперёд во времени, человек стареет, но не молодеет; тепло не переходит самопроизвольно от холодного тела к тёплому; капля чернил в стакане с водой растекается, окрашивая жидкость, но не возвращается самопроизвольно в ту маленькую круглую форму, которую имела изначально», — писала Симонелла. Ни уравнение Больцмана, ни уравнения Навье — Стокса не являются обратимыми во времени. Если попытаться запустить время в обратном направлении, результаты будут бессмысленными.
Современников Больцмана это приводило в замешательство. Как можно вывести необратимое во времени уравнение из обратимой во времени системы?
Но Больцман утверждал, что никакого парадокса нет: даже если каждую частицу можно смоделировать с учётом обратимости времени, почти все столкновения приводят к рассеиванию газа. Вероятность того, что газ внезапно сожмётся, практически равна нулю.
Лэнфорд математически подтвердил эту интуитивную догадку для своего очень короткого временного отрезка. Теперь результат Дэнга, Хани и Ма подтверждает это для более реалистичных ситуаций.
В дальнейшем математики, которые всё ещё изучают детали нового доказательства, хотят проверить, могут ли подобные методы быть полезны в других, ещё более реалистичных ситуациях. Например, в газах, состоящих из частиц разной формы, или в частицах, которые взаимодействуют более сложным образом.
Между тем, по словам Фальковича, такого рода строгие доказательства могут помочь физикам понять, почему газ ведёт себя определённым образом на разных уровнях и почему разные модели могут быть более или менее эффективными в различных сценариях. «Математики будят физиков, — сказал он. — Они заставляют нас задуматься».
Примечание: работа Дэн и Хани о системе волн была частично профинансирована Фондом Саймонса, который также финансирует независимый журнал Quanta.
