Шестая проблема Гильберта решена: математики объединили три физические теории спустя 125 лет

Когда величайший из ныне живущих математиков представляет своё видение исследований на следующее столетие, математический мир принимает это к сведению. Именно это произошло в 1900 году на Международном конгрессе математиков в Сорбонне в Париже. Легендарный математик Давид Гильберт представил 10 нерешённых задач как амбициозные ориентиры для XX века. Позже он расширил свой список, включив в него 23 задачи, и их влияние на математическую мысль за последние 125 лет невозможно переоценить.

Шестая проблема Гильберта была одной из самых сложных. Он призывал к «аксиоматизации» физики, то есть к определению минимального набора математических допущений, лежащих в основе всех её теорий. В широком смысле неясно, смогут ли физики-математики когда-либо узнать, решили ли они эту задачу. Однако Гильберт упомянул несколько конкретных подцелей, и с тех пор исследователи конкретизировали его видение, наметив шаги к решению проблемы.

В марте математики Юй Дэн из Чикагского университета и Захер Хани и Сяо Ма из Мичиганского университета опубликовали на сервере препринтов arXiv.org новую статью, в которой утверждается, что одна из этих задач решена. Если их работа выдержит проверку, это станет важным шагом на пути к обоснованию физики с помощью математики и может открыть путь к аналогичным прорывам в других областях физики.

Видео от DGL.RU

В своей статье исследователи предполагают, что им удалось объединить три физические теории, объясняющие движение жидкостей. Эти теории лежат в основе целого ряда инженерных приложений — от проектирования самолётов до прогнозирования погоды, — но до сих пор они опирались на предположения, которые не были строго доказаны. Этот прорыв не изменит сами теории, но математически обосновывает их и укрепляет нашу уверенность в том, что уравнения работают так, как мы думаем.

Каждая теория отличается тем, насколько детально она описывает текучую жидкость или газ. На микроскопическом уровне жидкости состоят из частиц — маленьких бильярдных шаров, которые движутся и время от времени сталкиваются, — и законы движения Ньютона хорошо описывают их траектории.

Но когда вы увеличиваете масштаб, чтобы рассмотреть коллективное поведение огромного количества частиц, так называемый мезоскопический уровень, становится неудобно моделировать каждую частицу по отдельности. В 1872 году австрийский физик-теоретик Людвиг Больцман решил эту проблему, разработав то, что впоследствии стало известно как уравнение Больцмана. Вместо того чтобы отслеживать поведение каждой частицы, уравнение учитывает вероятное поведение типичной частицы. Такой статистический подход сглаживает детали низкого уровня в пользу тенденций более высокого уровня. Уравнение позволяет физикам рассчитывать такие величины, как импульс и теплопроводность жидкости, без кропотливого учёта каждого микроскопического столкновения.

Увеличьте масштаб ещё больше, и вы окажетесь в макроскопическом мире. Здесь мы рассматриваем жидкости не как совокупность дискретных частиц, а как единое непрерывное вещество. На этом уровне анализа другой набор уравнений — уравнения Эйлера и Навье — Стокса — точно описывает движение жидкостей и взаимосвязь их физических свойств без обращения к частицам.

Все три уровня анализа описывают одну и ту же базовую реальность — движение жидкостей. В принципе, каждая теория должна опираться на теорию, стоящую ниже в иерархии: уравнения Эйлера и Навье — Стокса на макроскопическом уровне должны логически вытекать из уравнения Больцмана на мезоскопическом уровне, которое, в свою очередь, должно логически вытекать из законов движения Ньютона на микроскопическом уровне. Именно такую «аксиоматизацию» предложил Гильберт в своей шестой проблеме, и он прямо ссылался на работу Больцмана о газах в своей формулировке проблемы. Мы ожидаем, что полные теории физики будут следовать математическим правилам, которые объясняют явления от микроскопического до макроскопического уровня. Если учёным не удастся преодолеть этот разрыв, это может свидетельствовать о недопонимании в существующих теориях.

Объединение трёх подходов к гидродинамике было сложной задачей, но Дэн, Хани и Ма, возможно, справились с ней. Их достижение стало результатом многолетнего постепенного прогресса. Однако все предыдущие достижения были с оговорками: например, полученные результаты работали только в течение короткого промежутка времени, в вакууме или при других упрощающих условиях.

Новое доказательство в общих чертах состоит из трёх этапов: вывести макроскопическую теорию из мезоскопической; вывести мезоскопическую теорию из микроскопической; а затем объединить их в единый вывод макроскопических законов из микроскопических.

Первый шаг был сделан ранее, и в этом участвовал даже сам Гильберт. С другой стороны, вывести мезоскопическое из микроскопического было гораздо сложнее с математической точки зрения. Помните, что мезоскопическая среда — это коллективное поведение огромного количества частиц. Поэтому Дэн, Хани и Ма изучили, что происходит с уравнениями Ньютона, когда количество отдельных частиц, сталкивающихся и отскакивающих друг от друга, стремится к бесконечности, а их размер уменьшается до нуля. Они доказали, что при растяжении уравнений Ньютона до этих пределов статистическое поведение системы — или вероятное поведение «типичной» частицы в жидкости — сходится к решению уравнения Больцмана. Этот шаг позволяет вывести мезоскопическую математику из экстремального поведения микроскопической математики.

Главным препятствием на этом этапе была продолжительность периода, который моделировали уравнения. Уже было известно, как вывести уравнение Больцмана из законов Ньютона для очень коротких промежутков времени, но для программы Гильберта этого было недостаточно, потому что в реальном мире жидкости могут течь в течение любого промежутка времени. Чем больше промежуток времени, тем сложнее: происходит больше столкновений, и на текущее поведение частицы может влиять вся история её взаимодействий. Авторы преодолели эту трудность, тщательно проанализировав, насколько история частицы влияет на её текущее состояние, и применив новые математические методы, чтобы доказать, что совокупное влияние предыдущих столкновений остаётся незначительным.

Объединение их долгосрочного прорыва с предыдущими работами по выведению уравнений Эйлера и Навье — Стокса из уравнения Больцмана позволяет объединить три теории гидродинамики. Это открытие оправдывает использование различных подходов к изучению жидкостей в зависимости от того, что наиболее полезно в конкретном контексте, поскольку математически они сходятся к одной окончательной теории, описывающей одну реальность. Если предположить, что доказательство верно, то оно открывает новые горизонты в программе Гильберта. Мы можем только надеяться, что благодаря таким свежим подходам плотина, сдерживающая решения задач Гильберта, рухнет и поток физики устремится вниз по течению.

ЧИТАЙТЕ ТАКЖЕ: ДЕВЯТАЯ ПЛАНЕТА — ИЛИ НОВЫЙ ЗАКОН ГРАВИТАЦИИ? УЧЁНЫЕ СТАВЯТ ПОД СОМНЕНИЕ ВСЮ ГИПОТЕЗУ