Математический прорыв: найден революционный способ выявлять простые числа!

На протяжении веков простые числа будоражили воображение математиков, которые продолжают искать новые закономерности, помогающие их идентифицировать и определять, как они распределяются среди других чисел. Простые числа — это целые числа, которые больше 1 и делятся только на 1 и на само себя. Три наименьших простых числа — это 2, 3 и 5.

Определить, являются ли небольшие числа простыми, легко — нужно просто проверить, на какие числа они делятся. Однако, когда математики имеют дело с большими числами, задача определения какие из них являются простыми быстро становится всё более сложной. Хотя может быть практичным проверить, например, имеют ли числа 10 или 1000 более двух делителей, такая стратегия неэффективна или даже несостоятельна при проверке того, являются ли гигантские числа простыми или составными.

Например, самое большое известное простое число, которое равно 2136279841 − 1, состоит из 41 024 320 цифр. На первый взгляд это число может показаться невероятно большим. Однако, учитывая, что существует бесконечно много натуральных чисел всех возможных размеров, это число ничтожно по сравнению с ещё более крупными простыми числами.

Кроме того, математики хотят делать нечто большее, чем просто утомительно пытаться разложить простые числа на множители одно за другим, чтобы определить, является ли заданное целое число простым. «Нас интересуют простые числа, потому что их бесконечно много, но выявить в них какие-либо закономерности очень сложно», — говорит Кен Оно, математик из Университета Вирджинии. Тем не менее одна из главных целей — определить, как простые числа распределяются в более крупных наборах чисел.

Недавно Оно и двое его коллег — Уильям Крейг, математик из Военно-морской академии США, и Ян-Виллем ван Иттерсум, математик из Кёльнского университета в Германии, — предложили совершенно новый подход к поиску простых чисел. «Мы описали бесконечно много новых видов критериев для точного определения множества простых чисел, и все они сильно отличаются от принципа “Если число нельзя разложить на множители, оно должно быть простым”», — говорит Оно. Статья Оно и его коллег, опубликованная в «Трудах Национальной академии наук США», заняла второе место в конкурсе научных работ по физике, который присуждается за выдающиеся научные достижения и оригинальность. В некотором смысле это открытие предлагает бесконечное множество новых определений того, что значит быть простым числом, отмечает Оно.

В основе стратегии команды лежит понятие целочисленных разбиений. «Теория разбиений очень стара, — говорит Оно. Она восходит к швейцарскому математику XVIII века Леонарду Эйлеру и с тех пор продолжает расширяться и совершенствоваться математиками. На первый взгляд может показаться, что разбиения — это детская забава», — говорит Оно. «Сколькими способами можно сложить простые числа, чтобы получить другие числа?» Например, число 5 можно разделить на семь частей: 4 + 1, 3 + 2, 3 + 1 + 1, 2 + 2 + 1, 2 + 1 + 1 + 1 и 1 + 1 + 1 + 1 + 1.

Тем не менее эта концепция оказывается мощным скрытым ключом, открывающим новые способы обнаружения простых чисел. «Удивительно, что такой классический комбинаторный объект — функция разбиения — может быть использован для обнаружения простых чисел таким новым способом», — говорит Катрин Брингманн, математик из Кёльнского университета. (Брингманн уже работала с Оно и Крейгом, а сейчас является научным руководителем ван Иттерсума, но она не участвовала в этом исследовании.) Оно отмечает, что идея такого подхода возникла из-за вопроса, заданного одним из его бывших студентов, Робертом Шнайдером, который сейчас работает математиком в Мичиганском технологическом университете.

Оно, Крейг и ван Иттерсум доказали, что простые числа являются решениями бесконечного числа полиномиальных уравнений определённого типа в функциях разбиения. Названные диофантовыми уравнениями в честь математика III века Диофанта Александрийского (хотя они изучались задолго до него), эти выражения могут иметь целочисленные или рациональные решения (то есть их можно записать в виде дроби). Другими словами, это открытие показывает, что «целочисленные разбиения выявляют простые числа бесконечным числом естественных способов», — написали исследователи в своей статье в журнале Proceedings of the National Academy of Sciences.

Джордж Эндрюс, математик из Университета штата Пенсильвания, который редактировал статью PNAS, но не участвовал в исследовании, описывает это открытие как «совершенно новое» и «не ожидаемое», что затрудняет прогнозирование «к чему это приведет».

Это открытие выходит за рамки изучения распределения простых чисел. «На самом деле мы определяем все простые числа», — говорит Оно. В этом методе можно подставить целое число от 2 и выше в определённые уравнения, и если они верны, то число является простым. Одно из таких уравнений: (3n3 − 13n2 + 18n − 8)M1(n) + (12n2 − 120n + 212)M2(n) − 960M3(n) = 0, где M1(n), M2(n) и M3(n) — хорошо изученные функции разбиения. «В более общем плане» для определенного типа статистической суммы «мы доказываем, что существует бесконечно много таких простых обнаруживающих уравнений с постоянными коэффициентами», — пишут исследователи в своей статье PNAS . Проще говоря, «как будто наша работа дает вам бесконечно много новых определений простого числа», — говорит Оно. «Это своего рода умопомрачительно».

По словам Брингманн, результаты исследования могут привести к множеству новых открытий. «Помимо собственного математического интереса, эта работа может вдохновить на дальнейшие исследования удивительных алгебраических или аналитических свойств, скрытых в комбинаторных функциях», — говорит она. В комбинаторике — математике подсчёта — комбинаторные функции используются для описания количества способов выбора или расположения элементов в наборах. «В более широком смысле это демонстрирует богатство математических связей», — добавляет она. «Подобные результаты часто стимулируют нестандартное мышление в различных областях».

Бригманн предлагает несколько возможных направлений, в которых математики могли бы развить это исследование. Например, они могли бы изучить, какие ещё типы математических структур можно найти с помощью функций разбиения, или поискать способы расширить основной результат для изучения различных типов чисел. «Существуют ли обобщения основного результата для других последовательностей, таких как составные числа или значения арифметических функций?» — спрашивает она.

«Кен Оно, на мой взгляд, один из самых интересных математиков современности, — говорит Эндрюс. — Это не первый случай, когда он обращается к классической проблеме и открывает что-то действительно новое».

По-прежнему существует множество открытых вопросов о простых числах, многие из которых являются давними. Два примера — гипотеза о простых числах-близнецах и гипотеза Гольдбаха. Гипотеза о простых числах-близнецах утверждает, что существует бесконечно много простых чисел-близнецов — простых чисел, которые отличаются на два. Простые числа 5 и 7 являются числами-близнецами, как и 11 и 13. Гипотеза Гольдбаха утверждает, что «каждое чётное число больше 2 можно представить в виде суммы двух простых чисел по крайней мере одним способом», — говорит Оно. Но никто не доказал истинность этой гипотезы. Простые числа оказываются не такими и простыми.

«Подобные проблемы ставили в тупик математиков и специалистов по теории чисел на протяжении многих поколений, почти на протяжении всей истории теории чисел», — говорит Оно. Хотя недавнее открытие его команды не решает эти проблемы, по его словам, это яркий пример того, как математики расширяют границы возможного, чтобы лучше понять загадочную природу простых чисел.

125 лет без ответа: математики наконец объединили три фундаментальные теории!